Cálculo Ejemplos

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Paso 1

Reescribe el lado derecho con exponentes racionales.

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Paso 1.1

Elimina los paréntesis.

$V = \frac{1}{3} \cdot ((π r^{2}) h)$

Paso 1.2

Elimina los paréntesis.

$V = \frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h)$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (\frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h))$

Paso 3

La derivada de $V$ con respecto a $r$ es $V'$ .

$V'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Combina fracciones.

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Paso 4.1.1

Combina $π$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π}{3} \cdot (r^{2} h)]$

Paso 4.1.2

Combina $r^{2}$ y $\frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r^{2} π}{3} \cdot h]$

Paso 4.1.3

Combina $\frac{r^{2} π}{3}$ y $h$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r^{2} π h}{3}]$

Paso 4.2

Como $\frac{π h}{3}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $\frac{r^{2} π h}{3}$ con respecto a $r$ es $\frac{π h}{3} \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{π h}{3} \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{π h}{3} (2 r)$

Paso 4.4

Combina fracciones.

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Paso 4.4.1

Combina $2$ y $\frac{π h}{3}$ .

$\frac{2 (π h)}{3} r$

Paso 4.4.2

Combina $\frac{2 (π h)}{3}$ y $r$ .

$\frac{2 π h r}{3}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$V' = \frac{2 π h r}{3}$

Paso 6

Reemplaza $V'$ con $\frac{d V}{d r}$ .

$\frac{d V}{d r} = \frac{2 π h r}{3}$