Cálculo Ejemplos

$\int [3 \sec^{2} (t) + \frac{1}{\sqrt{t}}] d t$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int 3 \sec^{2} (t) + \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 \sec^{2} (t) d t + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \sec^{2} (t) d t + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Paso 4

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Paso 5.2

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\tan (t) + C) + 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7

Simplifica.

$3 \tan (t) + 2 t^{\frac{1}{2}} + C$