Cálculo Ejemplos

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Paso 1

Escribe ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ como una función.

$f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(\tan (x) + \cot (x))}^{2} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ como $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ .

$\int (\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Paso 4.2

Expande $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Paso 4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Paso 4.3.1.1.2

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Paso 4.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Paso 4.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Paso 4.3.1.2

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.2.1

Reordena $\tan (x)$ y $\cot (x)$ .

$\int \tan^{2} (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Paso 4.3.1.2.2

Reescribe $\tan (x) \cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \tan^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Paso 4.3.1.2.3

Cancela los factores comunes.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Paso 4.3.1.3

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.3.1

Reescribe $\cot (x) \tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \cot (x) d x$

Paso 4.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot (x) \cot (x) d x$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $\cot (x) \cot (x)$ .

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Paso 4.3.1.4.1

Eleva $\cot (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot (x) d x$

Paso 4.3.1.4.2

Eleva $\cot (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) d x$

Paso 4.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + {\cot (x)}^{1 + 1} d x$

Paso 4.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{2} (x) d x$

Paso 4.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 2 + \cot^{2} (x) d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \tan^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Paso 6

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Paso 9

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int \cot^{2} (x) d x$

Paso 11

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cot^{2} (x)$ como $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

Paso 14

Como la derivada de $- \cot (x)$ es $\csc^{2} (x)$ , la integral de $\csc^{2} (x)$ es $- \cot (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C - \cot (x) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica.

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Paso 15.1.1

Suma $- x$ y $2 x$ .

$C + \tan (x) + C + x + C - x + C - \cot (x) + C$

Paso 15.1.2

Resta $x$ de $x$ .

$C + \tan (x) + C + C + 0 + C - \cot (x) + C$

Paso 15.1.3

Suma $C + \tan (x) + C + C$ y $0$ .

$C + \tan (x) + C + C + C - \cot (x) + C$

Paso 15.2

Simplifica.

$\tan (x) - \cot (x) + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) - \cot (x) + C$