Cálculo Ejemplos

$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Escribe $2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ como una función.

$f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

Paso 4

Combina $2^{\sqrt{x}}$ y $\frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{2^{\sqrt{x}} \ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

Paso 5

Dado que $\ln (2)$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\ln (2)$ fuera de la integral.

$\ln (2) \int \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 6.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 6.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 6.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 6.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 6.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7

Sea $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Entonces $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , de modo que $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 7.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 7.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 7.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 7.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 7.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 7.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 7.1.8

Simplifica.

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Paso 7.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\ln (2) \int 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 8

Multiplica $2$ por $2^{u_{1}}$ .

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Paso 8.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\ln (2) \int 2^{1} \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (2) \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Paso 9

Sea $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 9.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 9.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 9.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (2) \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10

La integral de $2^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ .

$\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Reescribe $\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ como $\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ .

$\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Combina $\ln (2)$ y $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Paso 11.2.2

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 11.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Paso 11.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \cdot 2^{u_{2}} + C$

Paso 11.2.3

Multiplica $2^{u_{2}}$ por $1$ .

$2^{u_{2}} + C$

Paso 12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + u_{1}$ .

$2^{1 + u_{1}} + C$

Paso 12.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$