Cálculo Ejemplos

$\frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}} d x$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (5 + 2 x^{4}) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 + 2 x^{4}) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (5 + 2 x^{4}) x^{- 2} d x$

Paso 5

Multiplica $(5 + 2 x^{4}) x^{- 2}$ .

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{4} x^{- 2} d x$

Paso 6

Multiplica $x^{4}$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$\int 5 x^{- 2} + 2 (x^{- 2} x^{4}) d x$

Paso 6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{- 2 + 4} d x$

Paso 6.3

Suma $- 2$ y $4$ .

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{2} d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 5 x^{- 2} d x + \int 2 x^{2} d x$

Paso 8

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int x^{- 2} d x + \int 2 x^{2} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$5 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x^{2} d x$

Paso 10

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$5 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x^{2} d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

$5 (- \frac{1}{x}) + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 \frac{1}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 12.2.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 5}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 12.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 12.2.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- \frac{5}{x} + 2 \frac{x^{3}}{3} + C$

Paso 12.2.5

Combina $2$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- \frac{5}{x} + \frac{2 x^{3}}{3} + C$

Paso 12.3

Reordena los términos.

$- \frac{5}{x} + \frac{2}{3} x^{3} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{5}{x} + \frac{2}{3} x^{3} + C$