Cálculo Ejemplos

$e^{e^{x^{2}}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = e^{x^{2}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{x^{2}}$ .

$e^{e^{x^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$e^{e^{x^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{e^{x^{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$e^{e^{x^{2}}} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Multiplica $e^{e^{x^{2}}}$ por $e^{x^{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} e^{e^{x^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x^{2} + e^{x^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x^{2} + e^{x^{2}}} (2 x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores de $e^{x^{2} + e^{x^{2}}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} + e^{x^{2}}} x$

Paso 5.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2} + e^{x^{2}}} x$ .

$2 x e^{x^{2} + e^{x^{2}}}$