Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

Paso 2

Sea $u = 3 + \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- d u = \sin (x) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 + \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Paso 2.1.4

Resta $\sin (x)$ de $0$ .

$- \sin (x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$- 4 \ln (| u |) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + \cos (x)$ .

$- 4 \ln (| 3 + \cos (x) |) + C$