Cálculo Ejemplos

$- y^{2} + y - x^{2} + y^{3} = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- y^{2} + y - x^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- y^{2} + y - x^{2} + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (2 y y') + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 y y' + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 y y' + y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 y y' + y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 y y' + y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 y y' + y' - 2 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.5.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.5.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$- 2 y y' + y' - 2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.5.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 2 y y' + y' - 2 x + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.5.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$- 2 y y' + y' - 2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.5.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 y y' + y' - 2 x + 3 y^{2} y'$

Paso 2.6

Reordena los términos.

$- 2 y y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y'$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 y y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' + 3 y^{2} y' + y' = 2 x$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $- 2 y y' + 3 y^{2} y' + y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) + 3 y^{2} y' + y' = 2 x$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (- 2 y) + y' (3 y^{2}) + y' = 2 x$

Paso 5.2.3

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (- 2 y) + y' (3 y^{2}) + y' = 2 x$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 2 y) + y' (3 y^{2}) + y' \cdot 1 = 2 x$

Paso 5.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (- 2 y) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (- 2 y + 3 y^{2}) + y' \cdot 1 = 2 x$

Paso 5.2.6

Factoriza $y'$ de $y' (- 2 y + 3 y^{2}) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 2 y + 3 y^{2} + 1) = 2 x$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = 2 x$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = 2 x$ por $3 y^{2} - 2 y + 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = 2 x$ por $3 y^{2} - 2 y + 1$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 y + 1)}{3 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{2 x}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $3 y^{2} - 2 y + 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 y + 1)}{3 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{2 x}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2} - 2 y + 1}$