Cálculo Ejemplos

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$

Paso 1

Escribe $(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ como una función.

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) (x + 3) d x$

Paso 4

Sea $u = x + 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Suma $- 3$ y $1$ .

$\int (u - 2) (u - 3 + 2) u d u$

Paso 5.2

Suma $- 3$ y $2$ .

$\int (u - 2) (u - 1) u d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u (u - 1) - 2 (u - 1)) u d u$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 (u - 1)) u d u$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Paso 6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.7

Reordena $u$ y $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.8

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.9

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + 1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.11

Suma $1$ y $1$ .

$\int u^{2} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.12

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{2} u^{1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{2 + 1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.14

Suma $2$ y $1$ .

$\int u^{3} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.15

Factoriza el negativo.

$\int u^{3} - (u \cdot u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.16

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{3} - (u^{1} u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.17

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{3} - (u^{1} u^{1}) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{3} - u^{1 + 1} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.19

Suma $1$ y $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.20

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u) - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.21

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u^{1}) - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.22

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{1 + 1} - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.23

Suma $1$ y $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} - 2 \cdot - 1 u d u$

Paso 6.24

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} + 2 u d u$

Paso 6.25

Resta $2 u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

Paso 9

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int 2 u d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 2 u d u$

Paso 11

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 \int u d u$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Paso 13.2

Simplifica.

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Paso 13.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 \frac{u^{2}}{2} + C$

Paso 13.2.2

Combina $2$ y $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

Paso 13.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

Paso 13.2.3.2

Divide $u^{2}$ por $1$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + u^{2} + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$\frac{{(x + 3)}^{4}}{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$