Cálculo Ejemplos

$z = {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ({(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{3})$

Paso 2

La derivada de $z$ con respecto a $x$ es $z'$ .

$z'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.7

Combina fracciones.

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Paso 3.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.7.3

Combina $2$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.7.4

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.8

Como $y^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0)$

Paso 3.9

Simplifica los términos.

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Paso 3.9.1

Suma $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y $0$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.9.2

Combina $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y $3$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}} {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.9.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}} {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.9.4

Combina $\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ${(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{6 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.9.5

Factoriza $3$ de $6 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.10

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.10.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 3.10.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.10.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11

Simplifica.

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Paso 3.11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.1.1

Reescribe ${(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ como $(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 ((2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.2

Expande $(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.11.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.11.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.3.1.2

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.11.1.3.1.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.3.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.3.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.3.1.5

Multiplica $y^{\frac{1}{2}}$ por $y^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.11.1.3.1.5.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.3.1.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1 + 1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.3.1.5.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.3.1.5.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{1})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.3.1.6

Simplifica $y^{1}$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.3.2

Suma $2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ y $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 3.11.1.3.2.1

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.3.2.2

Suma $2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ y $2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}}) + 2 (4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.5

Simplifica.

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Paso 3.11.1.5.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 2 (4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.1.5.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 8 (x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.2

Reordena los términos.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$z' = \frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Reemplaza $z'$ con $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$