Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = - 2}^{3} 3^{- i}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{3^{- (i + 1)}}{3^{- i}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $3^{- (i + 1)}$ y $3^{- i}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $3^{- i}$ de $3^{- (i + 1)}$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i}}$

Paso 2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

Paso 2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{3^{- (i + 1) + i}}{1}$

Paso 2.2.1.2.4

Divide $3^{- (i + 1) + i}$ por $1$ .

$r = 3^{- (i + 1) + i}$

Paso 2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = 3^{- i - 1 \cdot 1 + i}$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$r = 3^{- i - 1 + i}$

Paso 2.2.3

Combina los términos opuestos en $- i - 1 + i$ .

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Paso 2.2.3.1

Suma $- i$ y $i$ .

$r = 3^{0 - 1}$

Paso 2.2.3.2

Resta $1$ de $0$ .

$r = 3^{- 1}$

Paso 2.2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{3}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $- 2$ por $i$ en $3^{- i}$ .

$a = 3^{2}$

Paso 3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$a = 9$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$9 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $3$ .

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Paso 5.1.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}})$

Paso 5.1.2

Combinar.

$9 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$9 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$9 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{6}}{3^{6}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1^{6}}{3^{6}}$ al numerador.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3^{6}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $3$ de $3^{6}$ .

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3.3

Cancela el factor común.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3.4

Reescribe la expresión.

$9 \frac{3 + \frac{- 1^{6}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.5

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 \frac{3 - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.8

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{3 \cdot \frac{243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.9

Combina $3$ y $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.11.1

Multiplica $3$ por $243$ .

$9 \frac{\frac{729 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.11.2

Resta $1$ de $729$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 - 1}$

Paso 5.5.2

Resta $1$ de $3$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{2}$

Paso 5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$9 (\frac{728}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.7.1

Factoriza $2$ de $728$ .

$9 (\frac{2 (364)}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.7.2

Cancela el factor común.

$9 (\frac{2 \cdot 364}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.7.3

Reescribe la expresión.

$9 (\frac{364}{243})$

Paso 5.8

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.8.1

Factoriza $9$ de $243$ .

$9 \frac{364}{9 (27)}$

Paso 5.8.2

Cancela el factor común.

$9 \frac{364}{9 \cdot 27}$

Paso 5.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{364}{27}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{364}{27}$

Forma decimal:

$13.\overline{481}$

Forma de número mixto:

$13 \frac{13}{27}$