Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 \sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{\sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = \cos (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = \cos (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{(1 + 9 {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

Paso 3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 8

Factoriza $9$ de $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

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Paso 8.1

Factoriza $9$ de $1$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 8.2

Factoriza $9$ de $9 {u_{2}}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Paso 8.3

Factoriza $9$ de $9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Paso 10

Reescribe $\frac{1}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

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Paso 12.1.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Paso 12.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Paso 12.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (u_{2} \cdot 3) + C)$

Paso 12.1.4

Mueve $3$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$

Paso 12.2

Reescribe $- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$ como $- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$

Paso 12.3

Simplifica.

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Paso 12.3.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{9}) \arctan (3 u_{2}) + C$

Paso 12.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{9}$ .

$\frac{- 3}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Paso 12.3.3

Cancela el factor común de $- 3$ y $9$ .

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Paso 12.3.3.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Paso 12.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Paso 12.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Paso 12.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Paso 12.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{3} \arctan (3 \cos (2 x)) + C$