Cálculo Ejemplos

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Paso 1

Escribe ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ como una función.

$f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ como $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ .

$\int (\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Paso 4.2

Expande $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \sin (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Paso 4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Eleva $\sin (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Paso 4.3.1.1.2

Eleva $\sin (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Paso 4.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\sin (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Paso 4.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Paso 4.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ .

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Paso 4.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Paso 4.3.1.3.2

Multiplica $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Paso 4.3.1.3.3

Eleva $\cos (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) d x$

Paso 4.3.1.3.4

Eleva $\cos (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) d x$

Paso 4.3.1.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} d x$

Paso 4.3.1.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Paso 4.3.2

Reordena los factores de $- \sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Paso 4.3.3

Resta $\cos (2 x) \sin (2 x)$ de $- \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Paso 4.4

Mueve $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Paso 4.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int 1 - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d x + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$x + C + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Paso 7

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$x + C - 2 \int \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Paso 8

Sea $u_{2} = \cos (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{2} = \cos (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 8.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 8.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 8.1.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 8.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 8.1.3

Diferencia.

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Paso 8.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Paso 8.1.3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$x + C - 2 \int u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x + C - 2 \int u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 9.2

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 \int - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x + C - 2 (- \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2})$

Paso 11

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$x + C + 2 \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2})$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$x + C + 1 \int u_{2} d u_{2}$

Paso 13.3

Multiplica $\int u_{2} d u_{2}$ por $1$ .

$x + C + \int u_{2} d u_{2}$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$x + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 15

Simplifica.

$x + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (2 x)$ .

$x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

Paso 17

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$