Cálculo Ejemplos

$- 5 y + 4 x^{3} y + 2 x^{2} = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- 5 y + 4 x^{3} y + 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 y + 4 x^{3} y + 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 y$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 5 y' + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3} y$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$- 5 y' + 4 \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + y (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 2.3.5

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 2 (2 x)$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 4 x$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 y' + 4 (x^{3} y') + 4 (3 y x^{2}) + 4 x$

Paso 2.5.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$- 5 y' + 4 x^{3} y' + 12 y x^{2} + 4 x$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$4 x^{3} y' + 12 x^{2} y + 4 x - 5 y'$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 x^{3} y' + 12 x^{2} y + 4 x - 5 y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $12 x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} y' + 4 x - 5 y' = - 12 x^{2} y$

Paso 5.1.2

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} y' - 5 y' = - 12 x^{2} y - 4 x$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $4 x^{3} y' - 5 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $4 x^{3} y'$ .

$y' (4 x^{3}) - 5 y' = - 12 x^{2} y - 4 x$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- 5 y'$ .

$y' (4 x^{3}) + y' \cdot - 5 = - 12 x^{2} y - 4 x$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (4 x^{3}) + y' \cdot - 5$ .

$y' (4 x^{3} - 5) = - 12 x^{2} y - 4 x$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (4 x^{3} - 5) = - 12 x^{2} y - 4 x$ por $4 x^{3} - 5$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (4 x^{3} - 5) = - 12 x^{2} y - 4 x$ por $4 x^{3} - 5$ .

$\frac{y' (4 x^{3} - 5)}{4 x^{3} - 5} = \frac{- 12 x^{2} y}{4 x^{3} - 5} + \frac{- 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $4 x^{3} - 5$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (4 x^{3} - 5)}{4 x^{3} - 5} = \frac{- 12 x^{2} y}{4 x^{3} - 5} + \frac{- 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2} y}{4 x^{3} - 5} + \frac{- 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 12 x^{2} y - 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $4 x$ de $- 12 x^{2} y - 4 x$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $4 x$ de $- 12 x^{2} y$ .

$y' = \frac{4 x (- 3 x y) - 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $4 x$ de $- 4 x$ .

$y' = \frac{4 x (- 3 x y) + 4 x (- 1)}{4 x^{3} - 5}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (- 3 x y) + 4 x (- 1)$ .

$y' = \frac{4 x (- 3 x y - 1)}{4 x^{3} - 5}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 x y$ .

$y' = \frac{4 x (- (3 x y) - 1)}{4 x^{3} - 5}$

Paso 5.3.3.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{4 x (- (3 x y) - 1 (1))}{4 x^{3} - 5}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 x y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{4 x (- (3 x y + 1))}{4 x^{3} - 5}$

Paso 5.3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.6.1

Reescribe $- (3 x y + 1)$ como $- 1 (3 x y + 1)$ .

$y' = \frac{4 x (- 1 (3 x y + 1))}{4 x^{3} - 5}$

Paso 5.3.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{(4 x) (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$

Paso 5.3.3.6.3

Reordena los factores en $- \frac{(4 x) (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$ .

$y' = - \frac{4 x (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$