Cálculo Ejemplos

$e^{a x}$

Paso 1

Escribe $e^{a x}$ como una función.

$f (a) = e^{a x}$

Paso 2

La función $F (a)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (a)$ .

$F (a) = \int f (a) d a$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (a) = \int e^{a x} d a$

Paso 4

Sea $u = a x$ . Entonces $d u = x d a$ , de modo que $\frac{1}{x} d u = d a$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = a x$ . Obtén $\frac{d u}{d a}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $a x$ .

$\frac{d}{d a} [a x]$

Paso 4.1.2

Como $x$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $a x$ con respecto a $a$ es $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$x \frac{d}{d a} [a]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$x$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{x} d u$

Paso 5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{e^{u}}{x} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{x}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{x}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x} \int e^{u} d u$

Paso 7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{x} (e^{u} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{1}{x} e^{u} + C$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $e^{u}$ .

$\frac{e^{u}}{x} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $a x$ .

$\frac{e^{a x}}{x} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (a) = e^{a x}$ .

$F (a) =$ $\frac{e^{a x}}{x} + C$