Cálculo Ejemplos

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 8}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 8$ .

$\frac{(x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 8) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 8) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 8$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 8) (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + 0) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) \cdot 1 - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 3.8

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 3.9.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 3.9.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{(2 x^{2} + 16) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2

Expande $(2 x^{2} + 16) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} (x + 1) + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.3.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.2.1.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.3.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.3.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.4

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 ((x + 1) (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.5

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.6.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.6.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.6.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.6.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.8

Simplifica.

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Paso 4.2.1.8.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.8.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{2} x - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.10

Simplifica.

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Paso 4.2.1.10.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.10.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.10.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.2.1.10.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.10.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.10.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.10.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.10.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.1.10.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x$ .

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Paso 4.2.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 + 0 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Suma $2 x^{2} + 16 x + 16$ y $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.3

Resta $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.2.4

Resta $2 x$ de $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} + 14 x + 16$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2

Factoriza $2$ de $14 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.3.1.3

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.3.1.4

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (7 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.3.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 7 (x) + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.3.2.1.2

Reescribe $7$ como $- 1$ más $8$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 8) x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} - 1 x + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.3.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.3.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 (x (- x - 1) - 8 (- x - 1))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.3.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$\frac{2 ((- x - 1) (x - 8))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{2 (- (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.7

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 4.9

Reordena los factores en $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$