Cálculo Ejemplos

$\frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$

Paso 1

Escribe $\frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$ como una función.

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}} d x$

Paso 4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{2 x - 1}} d x$

Paso 5

Sea $u = 2 x - 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 2} d u$

Paso 6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt[3]{u}$ .

$3 \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{u}} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 8.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 8.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 8.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 8.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 8.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Paso 8.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $\frac{3}{2} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ como $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 10.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9}{2 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 10.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{9}{4} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 1$ .

$\frac{9}{4} {(2 x - 1)}^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{4} {(2 x - 1)}^{\frac{2}{3}} + C$