Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{1}{2} x)}{x}$

Paso 1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{x}{2})}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (\frac{x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} \frac{x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{x}{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (\frac{x}{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.6

Multiplica $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}}{1}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos (\frac{x}{2})$

Paso 3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} \cos (lim_{x \to 0} \frac{x}{2})$

Paso 3.3

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x)$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cos (0)$

Paso 5.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$