Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} - x - 11}{e^{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - x - 11$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x - 11$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{x} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 2.7

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 2.8

Suma $2 x - 1$ y $0$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.4.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x - 1 \cdot e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.4.1.3

Reescribe $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.4.1.4

Multiplica $- - x$ .

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Paso 4.4.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.4.1.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 11$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.4.2

Suma $2 e^{x} x$ y $x e^{x}$ .

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Paso 4.4.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} + x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.4.2.2

Suma $2 x e^{x}$ y $x e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.4.3

Suma $- e^{x}$ y $11 e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} - x^{2} e^{x} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.5

Reordena los términos.

$\frac{3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Factoriza $e^{x}$ de $3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}$ .

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Paso 4.6.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $3 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (3 x) - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.6.1.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} x^{2}$ .

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.6.1.3

Factoriza $e^{x}$ de $10 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

Paso 4.6.1.4

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2})$ .

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

Paso 4.6.1.5

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10$ .

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

Paso 4.6.2

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$\frac{e^{x} (3 u - u^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

Paso 4.6.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.6.3.1

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 u + 10)}{e^{2 x}}$

Paso 4.6.3.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 4.6.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 u$ .

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 (u) + 10)}{e^{2 x}}$

Paso 4.6.3.2.2

Reescribe $3$ como $- 2$ más $5$

$\frac{e^{x} (- u^{2} + (- 2 + 5) u + 10)}{e^{2 x}}$

Paso 4.6.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} (- u^{2} - 2 u + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

Paso 4.6.3.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.6.3.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{e^{x} ((- u^{2} - 2 u) + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

Paso 4.6.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{e^{x} (u (- u - 2) - 5 (- u - 2))}{e^{2 x}}$

Paso 4.6.3.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u - 2$ .

$\frac{e^{x} ((- u - 2) (u - 5))}{e^{2 x}}$

Paso 4.6.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$\frac{e^{x} (- x - 2) (x - 5)}{e^{2 x}}$

Paso 4.7

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 4.7.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{x} (- x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x}}$

Paso 4.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.7.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 4.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 4.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)}{1}$

Paso 4.7.2.4

Divide $(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$ por $1$ .

$(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$

Paso 4.8

Aplica la propiedad distributiva.

$(e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

Paso 4.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(- e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

Paso 4.10

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$(- e^{- x} x - 2 \cdot e^{- x}) (x - 5)$

Paso 4.11

Expande $(- e^{- x} x - 2 e^{- x}) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- e^{- x} x (x - 5) - 2 e^{- x} (x - 5)$

Paso 4.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} (x - 5)$

Paso 4.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Paso 4.12

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.12.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.12.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.12.1.1.1

Mueve $x$ .

$- e^{- x} (x \cdot x) - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Paso 4.12.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- e^{- x} x^{2} - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Paso 4.12.1.2

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Paso 4.12.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 2$ .

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

Paso 4.12.2

Resta $2 e^{- x} x$ de $5 e^{- x} x$ .

$- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

Paso 4.13

Reordena los factores en $- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 3 x e^{- x} + 10 e^{- x}$