Cálculo Ejemplos

$y^{3} + 4 x^{2} + 1 = - 5 x - 3 y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + 4 x^{2} + 1) = \frac{d}{d x} (- 5 x - 3 y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} + 4 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$3 y^{2} y' + 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 y^{2} y' + 8 x + 0$

Paso 2.4.2

Suma $3 y^{2} y' + 8 x$ y $0$ .

$3 y^{2} y' + 8 x$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 x - 3 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 5 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 y$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 5 - 3 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 5 - 3 y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 y^{2} y' + 8 x = - 5 - 3 y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $3 y'$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' + 8 x + 3 y' = - 5$

Paso 5.2

Resta $8 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' + 3 y' = - 5 - 8 x$

Paso 5.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y' + 3 y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' = - 5 - 8 x$

Paso 5.3.2

Factoriza $3 y'$ de $3 y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot 1 = - 5 - 8 x$

Paso 5.3.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y' y^{2} + 3 y' \cdot 1$ .

$3 y' (y^{2} + 1) = - 5 - 8 x$

Paso 5.4

Divide cada término en $3 y' (y^{2} + 1) = - 5 - 8 x$ por $3 (y^{2} + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $3 y' (y^{2} + 1) = - 5 - 8 x$ por $3 (y^{2} + 1)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} + 1)}{3 (y^{2} + 1)} = \frac{- 5}{3 (y^{2} + 1)} + \frac{- 8 x}{3 (y^{2} + 1)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y' (y^{2} + 1)}{3 (y^{2} + 1)} = \frac{- 5}{3 (y^{2} + 1)} + \frac{- 8 x}{3 (y^{2} + 1)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y^{2} + 1)}{y^{2} + 1} = \frac{- 5}{3 (y^{2} + 1)} + \frac{- 8 x}{3 (y^{2} + 1)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $y^{2} + 1$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} + 1)}{y^{2} + 1} = \frac{- 5}{3 (y^{2} + 1)} + \frac{- 8 x}{3 (y^{2} + 1)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 5}{3 (y^{2} + 1)} + \frac{- 8 x}{3 (y^{2} + 1)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{5}{3 (y^{2} + 1)} + \frac{- 8 x}{3 (y^{2} + 1)}$

Paso 5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{5}{3 (y^{2} + 1)} - \frac{8 x}{3 (y^{2} + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{3 (y^{2} + 1)} - \frac{8 x}{3 (y^{2} + 1)}$