Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - 1}{e^{- x} - 1}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x) - 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Paso 1.2.1.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Paso 1.2.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\cos (3 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Paso 1.2.3.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.3.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.3.3

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.5

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.5.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.5.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.5.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.5.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - 1}{e^{- x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (3 x) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Paso 3.3.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Paso 3.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Paso 3.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Paso 3.3.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x) + 0}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Paso 3.5

Suma $- 3 \sin (3 x)$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{- x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Paso 3.7.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.7.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.7.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.7.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.7.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.7.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.7.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.7.6

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x} + 0}$

Paso 3.9

Suma $- e^{- x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x}}$

Paso 4

Mueve el término $- 3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 3 lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{- e^{- x}}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- 3 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

Paso 7

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

Paso 8

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} e^{- x}}$

Paso 9

Mueve el límite dentro del exponente.

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- e^{lim_{x \to 0} - x}}$

Paso 10

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- e^{- lim_{x \to 0} x}}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 \cdot 0)}{- e^{- lim_{x \to 0} x}}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 \cdot 0)}{- e^{0}}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$- 3 \frac{\sin (0)}{- e^{0}}$

Paso 12.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 3 \frac{0}{- e^{0}}$

Paso 12.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 3 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Paso 12.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 3 (\frac{0}{- 1})$

Paso 12.4

Divide $0$ por $- 1$ .

$- 3 \cdot 0$

Paso 12.5

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$0$