Cálculo Ejemplos

$f (x) = \arctan (x^{2})$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\arctan (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot (2 x)$

Paso 1.1.1.2.3

Combina fracciones.

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Paso 1.1.1.2.3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{1 + x^{4}} \cdot x$

Paso 1.1.1.2.3.2

Combina $\frac{2}{1 + x^{4}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Paso 1.1.1.2.3.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{4} + 1})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.2

Multiplica $x^{4} + 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.3.6.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 1.1.2.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.2.4.3

Suma $3$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.2.5

Resta $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.2.6

Combina $2$ y $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica.

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Paso 1.1.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.7.2.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7.3

Factoriza $2$ de $- 6 x^{4} + 2$ .

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Paso 1.1.2.7.3.1

Factoriza $2$ de $- 6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7.3.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7.5

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7.7

Reescribe $- (3 x^{4} - 1)$ como $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1.1

Divide cada término en $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.1.2.1.2

Divide $3 x^{4} - 1$ por $1$ .

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$3 x^{4} - 1 = 0$

Paso 1.2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{4} = 1$

Paso 1.2.3.3

Divide cada término en $3 x^{4} = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide cada término en $3 x^{4} = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 1.2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 1.2.3.3.2.1.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Paso 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.3.5

Simplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.2.3.5.1

Reescribe $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Paso 1.2.3.5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Paso 1.2.3.5.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 1.2.3.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 1.2.3.5.4.2

Eleva $\sqrt[4]{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 1.2.3.5.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Paso 1.2.3.5.4.4

Suma $1$ y $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Paso 1.2.3.5.4.5

Reescribe ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ como $3$ .

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Paso 1.2.3.5.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{3}$ como $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Paso 1.2.3.5.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Paso 1.2.3.5.4.5.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Paso 1.2.3.5.4.5.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.5.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Paso 1.2.3.5.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Paso 1.2.3.5.4.5.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Paso 1.2.3.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.3.5.5.1

Reescribe ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ como $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Paso 1.2.3.5.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 1.2.3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 1.2.3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 1.2.3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 {(- 3)}^{4} - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 \cdot 81 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $3$ por $81$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.3

Resta $1$ de $243$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Suma $81$ y $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Paso 4.2.2.3

Eleva $82$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Paso 4.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $2$ por $242$ .

$f'' (- 3) = - \frac{484}{6724}$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común de $484$ y $6724$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $484$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Paso 4.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $6724$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Paso 4.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Paso 4.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 3) = - \frac{121}{1681}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ porque $f'' (- 3)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.1.3

Resta $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

Paso 5.2.3.2

Divide $- 2$ por $1$ .

$f'' (0) = 2$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (0) = 2$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{4}$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{1 + 4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{5} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $1$ de $243$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.3.2

Suma $81$ y $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Paso 6.2.3.3

Eleva $82$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Paso 6.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.1

Multiplica $2$ por $242$ .

$f'' (3) = - \frac{484}{6724}$

Paso 6.2.4.2

Cancela el factor común de $484$ y $6724$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.2.1

Factoriza $4$ de $484$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Paso 6.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.2.2.1

Factoriza $4$ de $6724$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Paso 6.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Paso 6.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (3) = - \frac{121}{1681}$

Paso 6.2.5

La respuesta final es $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ porque $f'' (3)$ es negativa.

Cóncavo en $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8