Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int {(3 x + 2)}^{4} d x + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Paso 4

Sea $u = 3 x + 2$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 3 x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Paso 5

Combina $u^{4}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{4}}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int u^{4} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Paso 9

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 9.1

Mueve $x^{6}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

Paso 9.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Paso 9.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{6 \cdot - 1} d x$

Paso 9.2.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{- 6} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 6}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

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Paso 11.1.1

Combina $x^{- 5}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{x^{- 5}}{5} + C)$

Paso 11.1.2

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5 x^{5}} + C)$

Paso 11.2

Simplifica.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Paso 11.3.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{1}{15} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Paso 11.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{15} u^{5} + 1 \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Paso 11.3.4

Multiplica $\frac{1}{5 x^{5}}$ por $1$ .

$\frac{1}{15} u^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 2$ .

$\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$