Cálculo Ejemplos

$3 y^{3} = 5 x^{2} - 4 y - 3 y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 4 y - 3 y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$9 y^{2} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - 4 y - 3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 y$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$10 x - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$10 x - 4 y' + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 x - 4 y' - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$10 x - 4 y' - 3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$10 x - 4 y' - 3 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$10 x - 4 y' - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$10 x - 4 y' - 3 (2 y y')$

Paso 3.4.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$10 x - 4 y' - 6 y y'$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$- 6 y y' + 10 x - 4 y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$9 y^{2} y' = - 6 y y' + 10 x - 4 y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- 6 y y' + 10 x - 4 y' = 9 y^{2} y'$

Paso 5.2

Resta $9 y^{2} y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 y y' + 10 x - 4 y' - 9 y^{2} y' = 0$

Paso 5.3

Resta $10 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 y y' - 4 y' - 9 y^{2} y' = - 10 x$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $- 6 y y' - 4 y' - 9 y^{2} y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $- 6 y y'$ .

$y' (- 6 y) - 4 y' - 9 y^{2} y' = - 10 x$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $- 4 y'$ .

$y' (- 6 y) + y' \cdot - 4 - 9 y^{2} y' = - 10 x$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $- 9 y^{2} y'$ .

$y' (- 6 y) + y' \cdot - 4 + y' (- 9 y^{2}) = - 10 x$

Paso 5.4.4

Factoriza $y'$ de $y' (- 6 y) + y' \cdot - 4$ .

$y' (- 6 y - 4) + y' (- 9 y^{2}) = - 10 x$

Paso 5.4.5

Factoriza $y'$ de $y' (- 6 y - 4) + y' (- 9 y^{2})$ .

$y' (- 6 y - 4 - 9 y^{2}) = - 10 x$

Paso 5.5

Reordena los términos.

$y' (- 9 y^{2} - 6 y - 4) = - 10 x$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' (- 9 y^{2} - 6 y - 4) = - 10 x$ por $- 9 y^{2} - 6 y - 4$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' (- 9 y^{2} - 6 y - 4) = - 10 x$ por $- 9 y^{2} - 6 y - 4$ .

$\frac{y' (- 9 y^{2} - 6 y - 4)}{- 9 y^{2} - 6 y - 4} = \frac{- 10 x}{- 9 y^{2} - 6 y - 4}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $- 9 y^{2} - 6 y - 4$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 9 y^{2} - 6 y - 4)}{- 9 y^{2} - 6 y - 4} = \frac{- 10 x}{- 9 y^{2} - 6 y - 4}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{- 9 y^{2} - 6 y - 4}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{10 x}{- 9 y^{2} - 6 y - 4}$

Paso 5.6.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 9 y^{2}$ .

$y' = - \frac{10 x}{- (9 y^{2}) - 6 y - 4}$

Paso 5.6.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 6 y$ .

$y' = - \frac{10 x}{- (9 y^{2}) - (6 y) - 4}$

Paso 5.6.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (9 y^{2}) - (6 y)$ .

$y' = - \frac{10 x}{- (9 y^{2} + 6 y) - 4}$

Paso 5.6.3.5

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y' = - \frac{10 x}{- (9 y^{2} + 6 y) - 1 (4)}$

Paso 5.6.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (9 y^{2} + 6 y) - 1 (4)$ .

$y' = - \frac{10 x}{- (9 y^{2} + 6 y + 4)}$

Paso 5.6.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.3.7.1

Reescribe $- (9 y^{2} + 6 y + 4)$ como $- 1 (9 y^{2} + 6 y + 4)$ .

$y' = - \frac{10 x}{- 1 (9 y^{2} + 6 y + 4)}$

Paso 5.6.3.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - - \frac{10 x}{9 y^{2} + 6 y + 4}$

Paso 5.6.3.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{10 x}{9 y^{2} + 6 y + 4}$

Paso 5.6.3.7.4

Multiplica $\frac{10 x}{9 y^{2} + 6 y + 4}$ por $1$ .

$y' = \frac{10 x}{9 y^{2} + 6 y + 4}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x}{9 y^{2} + 6 y + 4}$