Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 \cos (3 θ))}^{2} d θ$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $3 \cos (3 θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 (\cos (3 θ)))}^{2} d θ$

Paso 1.2

Aplica la regla del producto a $3 (\cos (3 θ))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3^{2} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Paso 1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} (3 θ) d θ$

Paso 2

Dado que $9$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Paso 3

Sea $u_{1} = 3 θ$ . Entonces $d u_{1} = 3 d θ$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d θ$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = 3 θ$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $3 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [3 θ]$

Paso 3.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $3 θ$ con respecto a $θ$ es $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [θ]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $θ$ en $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $θ$ en $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Paso 3.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 4

Combina $\cos^{2} (u_{1})$ y $\frac{1}{3}$ .

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$9 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $9$ .

$\frac{9}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 7

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{3}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 12

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 12.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 12.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 12.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 12.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 12.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 12.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 12.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 12.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 12.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Paso 12.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 13

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 14

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 15

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Paso 16

Sustituye y simplifica.

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Paso 16.1

Evalúa $u_{1}$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Paso 16.2

Evalúa $\sin (u_{2})$ en $π$ y en $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Paso 16.3

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Paso 17.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Paso 17.3

Suma $\sin (π)$ y $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

Paso 17.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (π)$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

Paso 18.2

Simplifica cada término.

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Paso 18.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

Paso 18.2.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

Paso 18.3

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 18.4

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Paso 18.4.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Paso 18.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 19

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 π}{4}$

Forma decimal:

$2.35619449 \dots$