Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x - 2 x^{3} - 2$ is concave down at $x = 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = 5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 5 (1) - 2 \cdot 1^{3} - 2$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$

Paso 1.2.3

Simplifica $5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$ .

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$y = 5 - 2 {(1)}^{3} - 2$

Paso 1.2.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 5 - 2 \cdot 1 - 2$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$y = 5 - 2 - 2$

Paso 1.2.3.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 1.2.3.2.1

Resta $2$ de $5$ .

$y = 3 - 2$

Paso 1.2.3.2.2

Resta $2$ de $3$ .

$y = 1$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 2 x^{3} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$5 - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 - 6 x^{2} + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $5 - 6 x^{2}$ y $0$ .

$5 - 6 x^{2}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$- 6 x^{2} + 5$

Paso 2.6

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- 6 {(1)}^{2} + 5$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 6 \cdot 1 + 5$

Paso 2.7.1.2

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$- 6 + 5$

Paso 2.7.2

Suma $- 6$ y $5$ .

$- 1$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- 1$ y un punto dado $(1, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- 1 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1.4.1

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - x + 1 + 1$

Paso 3.3.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$y = - x + 2$

Paso 4