Cálculo Ejemplos

$\int - 2 (5 x^{2} + 2 x) e^{3 x} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (- 2 (5 x^{2}) - 2 (2 x)) e^{3 x} d x$

Paso 1.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$\int (- 10 x^{2} - 2 (2 x)) e^{3 x} d x$

Paso 1.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\int (- 10 x^{2} - 4 x) e^{3 x} d x$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int - 10 x^{2} e^{3 x} - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 10 x^{2} e^{3 x} d x + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 3

Dado que $- 10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 10$ fuera de la integral.

$- 10 \int x^{2} e^{3 x} d x + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{3 x}$ .

$- 10 (x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$- 10 (x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 5.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 5.4

Combina $2$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x}}{3} x d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 5.5

Combina $\frac{2 e^{3 x}}{3}$ y $x$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x} x}{3} d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} x d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 7

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 8.2

Combina $x$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 8.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 10

Sea $u_{1} = 3 x$ . Entonces $d u_{1} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{1} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 10.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 11

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 13.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 14

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Paso 15

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 \int x e^{3 x} d x$

Paso 16

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 17.2

Combina $x$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 17.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Paso 18

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Paso 19

Sea $u_{2} = 3 x$ . Entonces $d u_{2} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 19.1

Deja $u_{2} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 19.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 19.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 19.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 19.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 19.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2})$

Paso 20

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

Paso 21

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Paso 22

Simplifica.

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Paso 22.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 22.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 23

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{2}} + C))$

Paso 24

Simplifica.

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Paso 24.1

Simplifica.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{u_{1}}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{u_{2}}) + C$

Paso 24.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{9}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{u_{1}}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u_{2}}}{9}) + C$

Paso 25

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 25.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u_{2}}}{9}) + C$

Paso 25.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Paso 26

Reordena los términos.

$- 10 (\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{9} x e^{3 x} + \frac{2}{27} e^{3 x}) - 4 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$