Cálculo Ejemplos

$y = \sin (2 x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (2 x))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \sin (y)$ y $g (y) = 2 x$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [2 x]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [2 x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d y} [2 x]$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\cos (2 x) (2 x')$

Paso 3.4

Reordena los factores de $\cos (2 x) (2 x')$ .

$2 \cos (2 x) x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 2 \cos (2 x) x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $2 \cos (2 x) x' = 1$ .

$2 \cos (2 x) x' = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $2 \cos (2 x) x' = 1$ por $2 \cos (2 x)$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $2 \cos (2 x) x' = 1$ por $2 \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x) x'}{2 \cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (2 x) x'}{2 \cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos (2 x) x'}{\cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $\cos (2 x)$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (2 x) x'}{\cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Separa las fracciones.

$x' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Paso 5.2.3.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$x' = \frac{1}{2} \sec (2 x)$

Paso 5.2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sec (2 x)$ .

$x' = \frac{\sec (2 x)}{2}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\sec (2 x)}{2}$