Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x + \sin (x)}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2} - 2 \cdot 0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2} - 2 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.6.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.6.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.6.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \cos (x)}{1}$

Paso 1.4

Divide $2 x - 2 + \cos (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 x - 2 + \cos (x)$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Paso 2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + \cos (0)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 - 1 \cdot 2 + \cos (0)$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 - 2 + \cos (0)$

Paso 4.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 - 2 + 1$

Paso 4.2

Resta $2$ de $0$ .

$- 2 + 1$

Paso 4.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$- 1$