Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^{9}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^{9}} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{9}{x^{10}} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Paso 4

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int \frac{1}{x^{10}} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $x^{10}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$9 \int {(x^{10})}^{- 1} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{10})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \int x^{10 \cdot - 1} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Paso 5.2.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$9 \int x^{- 10} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 10}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{9} x^{- 9}$ .

$9 (- \frac{1}{9} x^{- 9} + C) + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $x^{- 9}$ y $\frac{1}{9}$ .

$9 (- \frac{x^{- 9}}{9} + C) + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Paso 7.2

Mueve $x^{- 9}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Paso 8

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int \frac{1}{x^{9}} d x$

Paso 9

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 9.1

Mueve $x^{9}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int {(x^{9})}^{- 1} d x$

Paso 9.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{9})}^{- 1}$ .

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Paso 9.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int x^{9 \cdot - 1} d x$

Paso 9.2.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int x^{- 9} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 9}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{8} x^{- 8}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 (- \frac{1}{8} x^{- 8} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

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Paso 11.1.1

Combina $x^{- 8}$ y $\frac{1}{8}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 (- \frac{x^{- 8}}{8} + C)$

Paso 11.1.2

Mueve $x^{- 8}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 (- \frac{1}{8 x^{8}} + C)$

Paso 11.2

Simplifica.

$\frac{- 1}{x^{9}} + 8 (- \frac{1}{8 x^{8}}) + C$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x^{9}} + 8 (- \frac{1}{8 x^{8}}) + C$

Paso 11.3.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- \frac{1}{x^{9}} - 8 \frac{1}{8 x^{8}} + C$

Paso 11.3.3

Combina $- 8$ y $\frac{1}{8 x^{8}}$ .

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{- 8}{8 x^{8}} + C$

Paso 11.3.4

Cancela el factor común de $- 8$ y $8$ .

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Paso 11.3.4.1

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{8 \cdot - 1}{8 x^{8}} + C$

Paso 11.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.4.2.1

Factoriza $8$ de $8 x^{8}$ .

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{8 \cdot - 1}{8 (x^{8})} + C$

Paso 11.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{8 \cdot - 1}{8 x^{8}} + C$

Paso 11.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{- 1}{x^{8}} + C$

Paso 11.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x^{9}} - \frac{1}{x^{8}} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^{9}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{9}} - \frac{1}{x^{8}} + C$