Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 1 - 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Paso 1.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 x$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 1.1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 1.1.1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.1.1.2.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.1.2.5

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

Paso 1.1.1.2.7

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = - 6 {(1 - 2 x)}^{2}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Reescribe ${(1 - 2 x)}^{2}$ como $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 ((1 - 2 x) (1 - 2 x))]$

Paso 1.1.2.2

Expande $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

Paso 1.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

Paso 1.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Paso 1.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 2 x$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x))]$

Paso 1.1.2.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Paso 1.1.2.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Paso 1.1.2.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Paso 1.1.2.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2})]$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})]$

Paso 1.1.2.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 4 x + 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- 6 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Paso 1.1.2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 6 (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Paso 1.1.2.7

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 6 (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Paso 1.1.2.8

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Paso 1.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Paso 1.1.2.10

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 6 (- 4 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Paso 1.1.2.11

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 (- 4 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 6 (- 4 + 4 (2 x))$

Paso 1.1.2.13

Multiplica $2$ por $4$ .

$- 6 (- 4 + 8 x)$

Paso 1.1.2.14

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 6 \cdot - 4 - 6 (8 x)$

Paso 1.1.2.14.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.14.2.1

Multiplica $- 6$ por $- 4$ .

$24 - 6 (8 x)$

Paso 1.1.2.14.2.2

Multiplica $8$ por $- 6$ .

$24 - 48 x$

Paso 1.1.2.14.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = - 48 x + 24$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 48 x + 24$ .

$- 48 x + 24$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 48 x + 24 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 48 x + 24 = 0$

Paso 1.2.2

Resta $24$ de ambos lados de la ecuación.

$- 48 x = - 24$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $- 48 x = - 24$ por $- 48$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $- 48 x = - 24$ por $- 48$ .

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 48$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 24}{- 48}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.1

Cancela el factor común de $- 24$ y $- 48$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.1.1

Factoriza $- 24$ de $- 24$ .

$x = \frac{- 24 (1)}{- 48}$

Paso 1.2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.1.2.1

Factoriza $- 24$ de $- 48$ .

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - 48 \cdot 0 + 24$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Multiplica $- 48$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $24$ .

$f'' (0) = 24$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $24$ .

$24$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ porque $f'' (0)$ es positiva.

La gráfica es convexa.

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = - 48 \cdot 3 + 24$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Multiplica $- 48$ por $3$ .

$f'' (3) = - 144 + 24$

Paso 5.2.2

Suma $- 144$ y $24$ .

$f'' (3) = - 120$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 120$ .

$- 120$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ porque $f'' (3)$ es negativa.

La gráfica es cóncava.

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

La gráfica es convexa.

La gráfica es cóncava.

Paso 7