Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{25} {(i^{2} + 2)}^{2}$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Reescribe ${(i^{2} + 2)}^{2}$ como $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ .

$(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$

Paso 1.2

Expande $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$i^{2} (i^{2} + 2) + 2 (i^{2} + 2)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 (i^{2} + 2)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $i^{2}$ por $i^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$i^{2 + 2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Paso 1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$i^{4} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Paso 1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $i^{2}$ .

$i^{4} + 2 \cdot i^{2} + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$i^{4} + 2 i^{2} + 2 i^{2} + 4$

Paso 1.3.2

Suma $2 i^{2}$ y $2 i^{2}$ .

$i^{4} + 4 i^{2} + 4$

Paso 1.4

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4 = \sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2} + \sum_{i = 1}^{25} 4$

Paso 3

Evalúa $\sum_{i = 1}^{25} i^{4}$ .

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Paso 3.1

Expande la serie para cada valor de $i$ .

$1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + \dots + 25^{4}$

Paso 3.2

Simplifica la forma expandida.

$2153645$

Paso 4

Evalúa $4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2}$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(4) (\frac{25 (25 + 1) (2 \cdot 25 + 1)}{6})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1.1

Suma $25$ y $1$ .

$4 \frac{25 \cdot 26 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 4.3.1.2.1

Multiplica $25$ por $26$ .

$4 \frac{650 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$4 \frac{650 (50 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.3

Suma $50$ y $1$ .

$4 \frac{650 \cdot 51}{6}$

Paso 4.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $650$ por $51$ .

$4 (\frac{33150}{6})$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{33150}{6}$

Paso 4.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{33150}{3})$

Paso 4.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{33150}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 33150}{3}$

Paso 4.3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.4.1

Multiplica $2$ por $33150$ .

$\frac{66300}{3}$

Paso 4.3.2.4.2

Divide $66300$ por $3$ .

$22100$

Paso 5

Evalúa $\sum_{i = 1}^{25} 4$ .

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Paso 5.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 5.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(4) (25)$

Paso 5.3

Multiplica $4$ por $25$ .

$100$

Paso 6

Suma los resultados de las sumas.

$2153645 + 22100 + 100$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Suma $2153645$ y $22100$ .

$2175745 + 100$

Paso 7.2

Suma $2175745$ y $100$ .

$2175845$