Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{e^{x} - 1}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{e^{x} - 1}$ como ${(e^{x} - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} - 1)}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = e^{x} - 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x} - 1$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 3

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (e^{x} + 0)$

Paso 5.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} e^{x}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(e^{x} - 1)}^{2}} e^{x}$

Paso 6.2

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$