Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Paso 1.2.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Paso 1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{3 e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Paso 1.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{3 e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Paso 1.2.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Paso 1.2.6

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Paso 1.2.7

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Paso 1.2.7.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.7.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 e^{- 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Paso 1.2.7.2.1.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Paso 1.2.7.2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Paso 1.2.7.2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Paso 1.2.7.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Paso 1.2.7.2.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Paso 1.3.1.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Paso 1.3.1.4

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 2)}^{2} - 1 \cdot 8}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

Paso 1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Paso 1.3.3.2

Resta $8$ de $8$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 e^{- 2 - x} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{- 2 - x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 - x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.3.8

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.3.9

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- 2 - x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- 1 e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.3.10

Reescribe $- 1 e^{- 2 - x}$ como $- e^{- 2 - x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.3.11

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.5

Suma $- 3 e^{- 2 - x}$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Paso 3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 3.7.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Paso 3.7.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Paso 3.8

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + 0}$

Paso 3.9

Suma $4 x$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{- 3}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- 3}{4} lim_{x \to - 2} \frac{e^{- 2 - x}}{x}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Paso 6

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Paso 8

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{lim_{x \to - 2} x}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{- 2}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Combinar.

$\frac{- 3 e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

Paso 10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 3 e^{- 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

Paso 10.2.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{- 3 e^{0}}{4 \cdot - 2}$

Paso 10.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{- 3 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Paso 10.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{- 3 \cdot 1}{- 8}$

Paso 10.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{- 3}{- 8}$

Paso 10.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{3}{8}$