Cálculo Ejemplos

$\int 5 u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $u$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

Paso 2

Sea $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ . Entonces $d u_{1} = 6 u^{2} d u$ , de modo que $\frac{1}{6} d u_{1} = u^{2} d u$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 + 2 u^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [3 + 2 u^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + 2 u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ .

$\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

Paso 2.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $3$ con respecto a $u$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $2 u^{3}$ con respecto a $u$ es $2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + 2 (3 u^{2})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$0 + 6 u^{2}$

Paso 2.1.4

Suma $0$ y $6 u^{2}$ .

$6 u^{2}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$5 \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{6} d u_{1}$

Paso 3

Combina ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ y $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2}{3}}}{6} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$5 (\frac{1}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1})$

Paso 5

Combina $\frac{1}{6}$ y $5$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1}$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$ como $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{5}{6}$ por $\frac{3}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 7.2.3

Multiplica $6$ por $5$ .

$\frac{15}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 7.2.4

Cancela el factor común de $15$ y $30$ .

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Paso 7.2.4.1

Factoriza $15$ de $15$ .

$\frac{15 (1)}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 7.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.4.2.1

Factoriza $15$ de $30$ .

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 7.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 7.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 + 2 u^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$