Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2}{x - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1} + \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1} + \sqrt{1} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.1.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{1} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.6.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 + 1 - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.6.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.6.3

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.6

Simplifica.

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Paso 1.3.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.6.3

Combina los términos.

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Paso 1.3.6.3.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.6.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.6.3.3

Suma $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Paso 1.5

Combina los términos.

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Paso 1.5.1

Para escribir $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Paso 1.5.2

Para escribir $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6 \sqrt{x} x^{\frac{2}{3}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} (2 \sqrt{x})} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{2}{3}} \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{3}})} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.5

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.6

Para escribir $\frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.3.7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.7.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.7.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3 + 2 \cdot 2}{6}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.3.9.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3 + 4}{6}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.9.2

Suma $3$ y $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.10

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2 \sqrt{x} (3 x^{\frac{2}{3}})}}{1}$

Paso 1.5.3.11

Multiplica $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 \sqrt{x} x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.12

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2}})}}{1}$

Paso 1.5.3.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.5.3.14

Para escribir $\frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.5.3.15

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.16

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.3.16.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.16.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.16.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}}}}{1}$

Paso 1.5.3.16.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6}}}}{1}$

Paso 1.5.3.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{6}}}}{1}$

Paso 1.5.3.18

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.3.18.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{4 + 3}{6}}}}{1}$

Paso 1.5.3.18.2

Suma $4$ y $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{7}{6}}}}{1}$

Paso 1.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{7}{6}}}}{1}$

Paso 1.6

Divide $\frac{2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{7}{6}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{7}{6}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{6}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 1} \frac{2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{7}{6}}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

Paso 2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

Paso 2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

Paso 2.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 3 lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

Paso 2.7

Mueve el exponente $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

Paso 2.8

Mueve el exponente $\frac{7}{6}$ de $x^{\frac{7}{6}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{7}{6}}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{1} + 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{7}{6}}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{1} + 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{7}{6}}}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{1} + 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{1^{\frac{7}{6}}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{1^{\frac{7}{6}}}$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{1^{\frac{7}{6}}}$

Paso 4.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 1}{1^{\frac{7}{6}}}$

Paso 4.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 + 3}{1^{\frac{7}{6}}}$

Paso 4.1.5

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{1^{\frac{7}{6}}}$

Paso 4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{1}$

Paso 4.3

Divide $5$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 5$

Paso 4.4

Combina $\frac{1}{6}$ y $5$ .

$\frac{5}{6}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{6}$

Forma decimal:

$0.8\overline{3}$