Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{\infty} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{2}^{t} e^{- 2 x - 4} d x$

Paso 3

Sea $u = - 2 x - 4$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = - 2 x - 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $- 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x - 4]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 + 0$

Paso 3.1.4.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$- 2$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - 2 x - 4$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 2 - 4$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$u_{lower} = - 4 - 4$

Paso 3.3.2

Resta $4$ de $- 4$ .

$u_{lower} = - 8$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - 2 x - 4$ .

$u_{upper} = - 2 t - 4$

Paso 3.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = - 2 t - 4$

Paso 3.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 4.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} 2 (- \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} - 2 (\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Paso 8.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{- 8}^{- 2 t - 4})$

Paso 10

Evalúa $e^{u}$ en $- 2 t - 4$ y en $- 8$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 2 t - 4} - e^{- 8})$

Paso 11

Evalúa el límite.

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Paso 11.1

Evalúa el límite.

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Paso 11.1.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - e^{- 8}$

Paso 11.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

Paso 11.2

Como el exponente $- 2 t - 4$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- 2 t - 4}$ se acerca a $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

Paso 11.3

Evalúa el límite.

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Paso 11.3.1

Evalúa el límite de $e^{- 8}$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$- (0 - e^{- 8})$

Paso 11.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.3.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (0 - \frac{1}{e^{8}})$

Paso 11.3.2.2

Resta $\frac{1}{e^{8}}$ de $0$ .

$- - \frac{1}{e^{8}}$

Paso 11.3.2.3

Multiplica $- - \frac{1}{e^{8}}$ .

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Paso 11.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{e^{8}}$

Paso 11.3.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{e^{8}}$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{8}}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{e^{8}}$

Forma decimal:

$0.00033546 \dots$