Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

Paso 1

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- d u = \sin (x) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Paso 1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Paso 4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ con respecto a $u$ es $\arctan (u)]_{1}^{0}$ .

$- (\arctan (u)]_{1}^{0})$

Paso 6

Evalúa $\arctan (u)$ en $0$ y en $1$ .

$- (\arctan (0) - \arctan (1))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$- (0 - \arctan (1))$

Paso 7.1.2

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$- (0 - \frac{π}{4})$

Paso 7.2

Resta $\frac{π}{4}$ de $0$ .

$- - \frac{π}{4}$

Paso 7.3

Multiplica $- - \frac{π}{4}$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$\frac{π}{4}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{4}$

Forma decimal:

$0.78539816 \dots$