Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ on $[- 3, 1]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} - 16 x + 0$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $4 x^{3} - 16 x$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 16 x$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Paso 1.2.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza.

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Paso 1.2.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 1.2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 1.2.6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2, 2$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 2$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{2} + 2$

Paso 1.4.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + 2$

Paso 1.4.1.2.1.3

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$0 + 0 + 2$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 2$

Paso 1.4.1.2.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$16 - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Paso 1.4.2.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Paso 1.4.2.2.1.3

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$16 - 32 + 2$

Paso 1.4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.4.2.2.2.1

Resta $32$ de $16$ .

$- 16 + 2$

Paso 1.4.2.2.2.2

Suma $- 16$ y $2$ .

$- 14$

Paso 1.4.3

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 1.4.3.1

Sustituye $2$ por $x$ .

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 2$

Paso 1.4.3.2

Simplifica.

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Paso 1.4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.3.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$16 - 8 {(2)}^{2} + 2$

Paso 1.4.3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Paso 1.4.3.2.1.3

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$16 - 32 + 2$

Paso 1.4.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.4.3.2.2.1

Resta $32$ de $16$ .

$- 16 + 2$

Paso 1.4.3.2.2.2

Suma $- 16$ y $2$ .

$- 14$

Paso 1.4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 2), (- 2, - 14), (2, - 14)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(0, 2), (- 2, - 14)$

Paso 3

Usa la prueba de la primera derivada para determinar qué puntos pueden ser máximos o mínimos.

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Paso 3.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 3.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la primera derivada $4 x^{3} - 16 x$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 16 \cdot - 4$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 16 \cdot - 4$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 - 16 \cdot - 4$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $- 16$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - 256 + 64$

Paso 3.2.2.2

Suma $- 256$ y $64$ .

$f' (- 4) = - 192$

Paso 3.2.2.3

La respuesta final es $- 192$ .

$- 192$

Paso 3.3

Sustituye cualquier número, como $- 1$ , del intervalo $(- 2, 0)$ en la primera derivada $4 x^{3} - 16 x$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 16 \cdot - 1$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 16 \cdot - 1$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 16 \cdot - 1$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 4$ y $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $12$ .

$12$

Paso 3.4

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(0, 2)$ en la primera derivada $4 x^{3} - 16 x$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 16 \cdot 1$

Paso 3.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (1) = 4 - 16 \cdot 1$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Paso 3.4.2.2

Resta $16$ de $4$ .

$f' (1) = - 12$

Paso 3.4.2.3

La respuesta final es $- 12$ .

$- 12$

Paso 3.5

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(2, \infty)$ en la primera derivada $4 x^{3} - 16 x$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Paso 3.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica $4$ por ${(4)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.2.1.1.1

Multiplica $4$ por ${(4)}^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Paso 3.5.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 16 \cdot 4$

Paso 3.5.2.1.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 16 \cdot 4$

Paso 3.5.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f' (4) = 256 - 16 \cdot 4$

Paso 3.5.2.1.3

Multiplica $- 16$ por $4$ .

$f' (4) = 256 - 64$

Paso 3.5.2.2

Resta $64$ de $256$ .

$f' (4) = 192$

Paso 3.5.2.3

La respuesta final es $192$ .

$192$

Paso 3.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = - 2$ , $x = - 2$ es un mínimo local.

$x = - 2$ es un mínimo local

Paso 3.7

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 3.8

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 2$ , $x = 2$ es un mínimo local.

$x = 2$ es un mínimo local

Paso 3.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ .

$x = - 2$ es un mínimo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = 2$ es un mínimo local

$x = - 2$ es un mínimo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = 2$ es un mínimo local

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 2)$

Mínimo absoluto: $(- 2, - 14)$

Paso 5