Cálculo Ejemplos

$\frac{\ln^{2} (x)}{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln^{2} (x)$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)] - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\ln (x)$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{x (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x (2 \ln (x) \frac{1}{x}) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $2$ .

$\frac{x (\frac{2}{x} \ln (x)) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $\frac{2}{x}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{x \frac{2 \ln (x)}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.2.2

Combina $x$ y $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\frac{x (2 \ln (x))}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x (2 \ln (x))}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.2.3.2

Divide $2 \ln (x)$ por $1$ .

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x)}{x^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln (x^{2}) - \ln^{2} (x)}{x^{2}}$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$\frac{- \ln^{2} (x) + \ln (x^{2})}{x^{2}}$