Cálculo Ejemplos

$5^{3 x^{2} - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 5^{x}$ y $g (x) = 3 x^{2} - 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} - 1$ .

$5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) (6 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) (6 x + 0)$

Paso 2.6

Suma $6 x$ y $0$ .

$5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) (6 x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los factores de $5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) (6 x)$ .

$6 \cdot 5^{3 x^{2} - 1} x \ln (5)$

Paso 3.2

Reordena los factores en $6 \cdot 5^{3 x^{2} - 1} x \ln (5)$ .

$6 x \cdot 5^{3 x^{2} - 1} \ln (5)$