Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1}$ como $e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})$ ; para ello, mueve $2 x + 1$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{(2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}$

Paso 3

Reescribe $(2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})$ como $\frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x - 4}{x + 3})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.3

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.3.6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.5

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.2.5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.5.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.5.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.7.1.1

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.7.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.7.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.7.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.7.3

Divide $1$ por $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.2.7.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Paso 4.1.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{2 x + 1}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 4.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x - 4}{x + 3})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x - 4}{x + 3})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x - 4}{x + 3}$ .

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Paso 4.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x - 4}{x + 3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x - 4}{x + 3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x - 4}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x - 4}{x + 3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x + 3}{x - 4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.4

Multiplica $\frac{x + 3}{x - 4}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 4$ y $g (x) = x + 3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.8

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.10

Multiplica $x + 3$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.13

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.14

Suma $1$ y $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.15

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.16

Multiplica $\frac{x + 3}{x - 4}$ por $\frac{x + 3 - (x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x - 4) {(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.17

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.17.1

Factoriza $x + 3$ de $(x - 4) {(x + 3)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x + 3) (x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.17.2

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x + 3) (x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.17.3

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3 - (x - 4)}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.18

Simplifica.

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Paso 4.3.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3 - x - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.18.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.18.2.1

Combina los términos opuestos en $x + 3 - x - - 4$ .

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Paso 4.3.18.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 + 3 - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.18.2.1.2

Suma $0$ y $3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.18.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 + 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.18.2.3

Suma $3$ y $4$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.18.3

Reordena los términos.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Paso 4.3.19

Reescribe $\frac{1}{2 x + 1}$ como ${(2 x + 1)}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]}}$

Paso 4.3.20

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 4.3.20.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

Paso 4.3.20.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

Paso 4.3.20.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

Paso 4.3.21

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Paso 4.3.22

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Paso 4.3.23

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Paso 4.3.24

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Paso 4.3.25

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + 0)}}$

Paso 4.3.26

Suma $2$ y $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} \cdot 2}}$

Paso 4.3.27

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- 2 {(2 x + 1)}^{- 2}}}$

Paso 4.3.28

Simplifica.

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Paso 4.3.28.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- 2 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

Paso 4.3.28.2

Combina los términos.

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Paso 4.3.28.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{- 2}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

Paso 4.3.28.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

Paso 4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7}{(x + 3) (x - 4)} \cdot - 1 \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{2}}$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}$ por $\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{(x + 3) (x - 4) \cdot 2}}$

Paso 4.6

Mueve $2$ a la izquierda de $(x + 3) (x - 4)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{2 (x + 3) (x - 4)}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{2 (x + 3) (x - 4)}}$

Paso 5.2

Mueve el término $\frac{7}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{(x + 3) (x - 4)}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Expande $(x + 3) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x (x - 4) + 3 (x - 4)}}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (x - 4)}}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

Paso 6.2.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - 4 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - 4 x + 3 x - 12}}$

Paso 6.2.2

Suma $- 4 x$ y $3 x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - x - 12}}$

Paso 7

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 12}{x^{2}}}}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Paso 8.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Paso 8.3

Mueve el exponente $2$ de ${(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Paso 8.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Paso 8.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Paso 8.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.6.1

Cancela el factor común.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Paso 8.6.2

Reescribe la expresión.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Paso 8.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Paso 10

Evalúa el límite.

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Paso 10.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

Paso 11

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

Paso 12

Mueve el término $12$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 13

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

Paso 14.1.2

Suma $2$ y $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{2^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

Paso 14.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0 - 12 \cdot 0}}$

Paso 14.2.2

Multiplica $- 12$ por $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0 + 0}}$

Paso 14.2.3

Suma $1 + 0$ y $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0}}$

Paso 14.2.4

Suma $1$ y $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1}}$

Paso 14.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{2}$ al numerador.

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{4}{1}}$

Paso 14.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{2 (2)}{1}}$

Paso 14.3.3

Cancela el factor común.

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{1}}$

Paso 14.3.4

Reescribe la expresión.

$e^{- 7 \cdot 2}$

Paso 14.4

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$e^{- 14}$

Paso 15

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{14}}$