Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 5} \frac{x^{4} - 5 x^{3}}{25 - x^{2}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{4} - 5 x^{3}}{lim_{x \to 5} 25 - x^{2}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{4} - lim_{x \to 5} 5 x^{3}}{lim_{x \to 5} 25 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{4} - lim_{x \to 5} 5 x^{3}}{lim_{x \to 5} 25 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{4} - 5 lim_{x \to 5} x^{3}}{lim_{x \to 5} 25 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 5} x)}^{3}}{lim_{x \to 5} 25 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $5$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{5^{4} - 5 {(lim_{x \to 5} x)}^{3}}{lim_{x \to 5} 25 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{5^{4} - 5 \cdot 5^{3}}{lim_{x \to 5} 25 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$\frac{625 - 5 \cdot 5^{3}}{lim_{x \to 5} 25 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.6.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{625 - 5 \cdot 125}{lim_{x \to 5} 25 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.6.1.3

Multiplica $- 5$ por $125$ .

$\frac{625 - 625}{lim_{x \to 5} 25 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Resta $625$ de $625$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 25 - x^{2}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 25 - lim_{x \to 5} x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $25$ que es constante cuando $x$ se acerca a $5$ .

$\frac{0}{25 - lim_{x \to 5} x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{25 - {(lim_{x \to 5} x)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{0}{25 - 5^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{25 - 1 \cdot 25}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$\frac{0}{25 - 25}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $25$ de $25$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{4} - 5 x^{3}}{25 - x^{2}} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 5 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 5 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3} - 5 (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3} - 15 x^{2}}{\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $25 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3} - 15 x^{2}}{\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Paso 1.3.6

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3} - 15 x^{2}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3} - 15 x^{2}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3} - 15 x^{2}}{0 - (2 x)}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3} - 15 x^{2}}{0 - 2 x}$

Paso 1.3.8

Resta $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3} - 15 x^{2}}{- 2 x}$

Paso 2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{- 2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3} - 15 x^{2}}{x}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 4 x^{3} - 15 x^{2}}{lim_{x \to 5} x}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 4 x^{3} - lim_{x \to 5} 15 x^{2}}{lim_{x \to 5} x}$

Paso 2.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{4 lim_{x \to 5} x^{3} - lim_{x \to 5} 15 x^{2}}{lim_{x \to 5} x}$

Paso 2.5

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{4 {(lim_{x \to 5} x)}^{3} - lim_{x \to 5} 15 x^{2}}{lim_{x \to 5} x}$

Paso 2.6

Mueve el término $15$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{4 {(lim_{x \to 5} x)}^{3} - 15 lim_{x \to 5} x^{2}}{lim_{x \to 5} x}$

Paso 2.7

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{4 {(lim_{x \to 5} x)}^{3} - 15 {(lim_{x \to 5} x)}^{2}}{lim_{x \to 5} x}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $5$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{4 \cdot 5^{3} - 15 {(lim_{x \to 5} x)}^{2}}{lim_{x \to 5} x}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{4 \cdot 5^{3} - 15 \cdot 5^{2}}{lim_{x \to 5} x}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{4 \cdot 5^{3} - 15 \cdot 5^{2}}{5}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 5^{3} - 15 \cdot 5^{2}}{5}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 125 - 15 \cdot 5^{2}}{5}$

Paso 4.2.2

Multiplica $4$ por $125$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{500 - 15 \cdot 5^{2}}{5}$

Paso 4.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{500 - 15 \cdot 25}{5}$

Paso 4.2.4

Multiplica $- 15$ por $25$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{500 - 375}{5}$

Paso 4.2.5

Resta $375$ de $500$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{125}{5}$

Paso 4.3

Divide $125$ por $5$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 25$

Paso 4.4

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$- 25 (\frac{1}{2})$

Paso 4.4.2

Combina $- 25$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 25}{2}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{25}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{25}{2}$

Forma decimal:

$- 12.5$