Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Paso 2.2

Reescribe ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (θ)$ como $1 + \tan^{2} (θ)$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Paso 4

Sea $u = \tan (θ)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \tan (θ)$ . Obtén $\frac{d u}{d θ}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\tan (θ)$ con respecto a $θ$ es $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $θ$ en $u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Paso 4.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $θ$ en $u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Paso 4.5

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$4 \int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Paso 5

Multiplica $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$4 \int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $u^{4}$ por $1$ .

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Paso 6.2

Multiplica $u^{2}$ por $u^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Paso 6.2.2

Suma $2$ y $4$ .

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Paso 9

Combina $\frac{1}{5}$ y $u^{5}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{6}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1}$ y $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{7}$ y $u^{7}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}]_{0}^{1})$

Paso 12

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.1

Evalúa $\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}$ en $1$ y en $0$ .

$4 ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{7}}{7}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1^{7}}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.3

Para escribir $\frac{1}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.4

Para escribir $\frac{1}{7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $35$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 12.2.5.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{7}{7}$ .

$4 (\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.5.2

Multiplica $5$ por $7$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.5.3

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.5.4

Multiplica $7$ por $5$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{7 + 5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.7

Suma $7$ y $5$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.9

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 12.2.9.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.9.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0^{7}}{7}))$

Paso 12.2.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{7}))$

Paso 12.2.11

Cancela el factor común de $0$ y $7$ .

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Paso 12.2.11.1

Factoriza $7$ de $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 (0)}{7}))$

Paso 12.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.11.2.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Paso 12.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Paso 12.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{1}))$

Paso 12.2.11.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + 0))$

Paso 12.2.12

Suma $0$ y $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - 0)$

Paso 12.2.13

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$4 (\frac{12}{35} + 0)$

Paso 12.2.14

Suma $\frac{12}{35}$ y $0$ .

$4 (\frac{12}{35})$

Paso 12.2.15

Combina $4$ y $\frac{12}{35}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{35}$

Paso 12.2.16

Multiplica $4$ por $12$ .

$\frac{48}{35}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{48}{35}$

Forma decimal:

$1.37142857 \dots$

Forma de número mixto:

$1 \frac{13}{35}$