Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Paso 1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Paso 1.2

Reescribe ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Paso 2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (θ)$ como $1 + \tan^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Paso 3

Sea $u = \tan (θ)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \tan (θ)$ . Obtén $\frac{d u}{d θ}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\tan (θ)$ con respecto a $θ$ es $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $θ$ en $u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Paso 3.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $θ$ en $u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Paso 3.5

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Paso 4

Multiplica $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $u^{4}$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Paso 5.2

Multiplica $u^{2}$ por $u^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Paso 5.2.2

Suma $2$ y $4$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{6}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Paso 9

Combina $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ y $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2.4

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2.5

Para escribir $\frac{1}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2.6

Para escribir $\frac{1}{7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $35$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.2.7.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2.7.2

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2.7.3

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2.7.4

Multiplica $7$ por $5$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 + 5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2.9

Suma $7$ y $5$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2.11

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 10.2.12

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0)$

Paso 10.2.13

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + 0)$

Paso 10.2.14

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{12}{35} - 0$

Paso 10.2.15

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{12}{35} + 0$

Paso 10.2.16

Suma $\frac{12}{35}$ y $0$ .

$\frac{12}{35}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{12}{35}$

Forma decimal:

$0.3\overline{428571}$