Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} \frac{6}{9 + x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{0}^{3} \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Paso 2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$6 \int_{0}^{3} \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3})]_{0}^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3})]_{0}^{3})$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$6 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}]_{0}^{3})$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa $\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}$ en $3$ y en $0$ .

$6 ((\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3}) - \frac{\arctan (\frac{0}{3})}{3})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$6 (\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3} - \frac{\arctan (\frac{0}{3})}{3})$

Paso 4.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{0}{3})}{3})$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3})$

Paso 4.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3})$

Paso 4.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3})$

Paso 4.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{3})$

Paso 4.2.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (0)}{3})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 \frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{3}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$6 \frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{3}$

Paso 5.2.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$6 \frac{\frac{π}{4} - 0}{3}$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$6 \frac{\frac{π}{4} + 0}{3}$

Paso 5.3

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$6 \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 2 \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{π}{4}$

Paso 5.5

Combina $2$ y $\frac{π}{4}$ .

$\frac{2 π}{4}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Paso 5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Paso 5.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{2}$

Forma decimal:

$1.57079632 \dots$

Paso 7