Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{3} + 8 x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Paso 1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Suma $5 x^{3}$ y $8 x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{13 x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Paso 1.2

Mueve el término $13$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$13 \frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$13 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$13 \frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$13 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$13 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$13 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Paso 2.1.3.4

Mueve el término $16$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.3.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 \cdot 0^{2}}$

Paso 2.1.3.7

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.7.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0 - 16 \cdot 0^{2}}$

Paso 2.1.3.7.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$13 \frac{0}{0 - 16 \cdot 0^{2}}$

Paso 2.1.3.7.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$13 \frac{0}{0 - 16 \cdot 0}$

Paso 2.1.3.7.1.4

Multiplica $- 16$ por $0$ .

$13 \frac{0}{0 + 0}$

Paso 2.1.3.7.2

Suma $0$ y $0$ .

$13 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.7.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$13 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$13 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$13 (\frac{0}{0})$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$13 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 16 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Paso 2.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 16 \cdot 2 x}$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $2$ por $- 16$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 32 x}$

Paso 3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{12 x^{3} - 32 x}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$13 \cdot 3 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Paso 4.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Paso 4.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Paso 4.1.3.2

Mueve el término $12$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Paso 4.1.3.3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Paso 4.1.3.4

Mueve el término $32$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 \cdot 0}$

Paso 4.1.3.6

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.6.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0 - 32 \cdot 0}$

Paso 4.1.3.6.1.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0 - 32 \cdot 0}$

Paso 4.1.3.6.1.3

Multiplica $- 32$ por $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0 + 0}$

Paso 4.1.3.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Paso 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{12 x^{3} - 32 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Paso 4.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{3} - 32 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Paso 4.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Paso 4.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Paso 4.3.4.3

Multiplica $3$ por $12$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Paso 4.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1

Como $- 32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 32 x$ con respecto a $x$ es $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32 \cdot 1}$

Paso 4.3.5.3

Multiplica $- 32$ por $1$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $2$ y $36 x^{2} - 32$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{36 x^{2} - 32}$

Paso 4.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1

Factoriza $2$ de $36 x^{2}$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 \cdot 18 x^{2} - 32}$

Paso 4.4.2.2

Factoriza $2$ de $- 32$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 18 x^{2} + 2 \cdot - 16}$

Paso 4.4.2.3

Factoriza $2$ de $2 (18 x^{2}) + 2 (- 16)$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 (18 x^{2} - 16)}$

Paso 4.4.2.4

Cancela el factor común.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (18 x^{2} - 16)}$

Paso 4.4.2.5

Reescribe la expresión.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{x}{18 x^{2} - 16}$

Paso 5

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - 16}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Paso 5.3

Mueve el término $18$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Paso 5.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica $13$ por $3$ .

$39 \frac{0}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $0$ y $18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Factoriza $- 1$ de $18 \cdot 0^{2}$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 \cdot 16}$

Paso 7.2.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 16$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)}$

Paso 7.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Paso 7.2.4

Reescribe $- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ como $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ .

$39 \frac{0}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Paso 7.2.5

Factoriza $2$ de $0$ .

$39 \frac{2 (0)}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Paso 7.2.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.6.1

Factoriza $2$ de $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ .

$39 \frac{2 (0)}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

Paso 7.2.6.2

Cancela el factor común.

$39 \frac{2 \cdot 0}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

Paso 7.2.6.3

Reescribe la expresión.

$39 \frac{0}{- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8)}$

Paso 7.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$39 \frac{0}{- 1 (- 9 \cdot 0 + 8)}$

Paso 7.3.2

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$39 \frac{0}{- 1 (0 + 8)}$

Paso 7.3.3

Suma $0$ y $8$ .

$39 \frac{0}{- 1 \cdot 8}$

Paso 7.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$39 (\frac{0}{- 8})$

Paso 7.5

Divide $0$ por $- 8$ .

$39 \cdot 0$

Paso 7.6

Multiplica $39$ por $0$ .

$0$