Cálculo Ejemplos

$\int 2 x^{2} (x - 2) (4 x - 5) d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int (x^{2} (x - 2)) (4 x - 5) d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = 4 x - 5$ . Entonces $d u_{1} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 4 x - 5$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $4 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4} - 2) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4} - 2 \cdot \frac{4}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 3.2

Combina $- 2$ y $\frac{4}{4}$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5 - 2 \cdot 4}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5 - 8}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 3.4.2

Resta $8$ de $5$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{- 3}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} - \frac{3}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 3.6

Combina $\frac{1}{4}$ y ${(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}$ .

$2 \int \frac{{(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}}{4} (\frac{u_{1}}{4} - \frac{3}{4}) u_{1} d u_{1}$

Paso 3.7

Combina $u_{1}$ y $\frac{{(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}}{4}$ .

$2 \int \frac{u_{1} {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}}{4} (\frac{u_{1}}{4} - \frac{3}{4}) d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = \frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{4} d u_{1}$ , de modo que $4 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = \frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{u_{1}}{4}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $\frac{5}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{5}{4}$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$\frac{1}{4} + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $\frac{1}{4}$ y $0$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} (\frac{4 u_{2} - 5}{4} - \frac{3}{4}) d u_{2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 u_{2} - 5 - 3}{4} d u_{2}$

Paso 5.2

Resta $3$ de $- 5$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 u_{2} - 8}{4} d u_{2}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $4 u_{2} - 8$ y $4$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $4$ de $4 u_{2}$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2}) - 8}{4} d u_{2}$

Paso 5.3.2

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2}) + 4 \cdot - 2}{4} d u_{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $4$ de $4 (u_{2}) + 4 (- 2)$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2} - 2)}{4} d u_{2}$

Paso 5.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2} - 2)}{4 (1)} d u_{2}$

Paso 5.3.4.2

Cancela el factor común.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2} - 2)}{4 \cdot 1} d u_{2}$

Paso 5.3.4.3

Reescribe la expresión.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{u_{2} - 2}{1} d u_{2}$

Paso 5.3.4.4

Divide $u_{2} - 2$ por $1$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} (u_{2} - 2) d u_{2}$

Paso 6

Sea $u_{3} = u_{2} - 2$ . Entonces $d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{3} = u_{2} - 2$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $u_{2} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 2]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{2} - 2$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$

Paso 6.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $u_{2}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$2 \int (4 (u_{3} + 2) - 5) {(u_{3} + 2)}^{2} u_{3} d u_{3}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe ${(u_{3} + 2)}^{2}$ como $(u_{3} + 2) (u_{3} + 2)$ .

$2 \int (4 (u_{3} + 2) - 5) ((u_{3} + 2) (u_{3} + 2)) u_{3} d u_{3}$

Paso 7.2