Cálculo Ejemplos

$x \sin^{2} (x)$

Paso 1

Escribe $x \sin^{2} (x)$ como una función.

$f (x) = x \sin^{2} (x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x \sin^{2} (x) d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin^{2} (x)$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\int \frac{1}{2} x d x + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} \int x d x + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Paso 8

Dado que $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (2 x) d x)$

Paso 9

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Paso 11.2

Combina $\sin (2 x)$ y $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Paso 12

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

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Paso 13.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} (- \cos (u) + C))$

Paso 13.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

Paso 13.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

Paso 13.2

Simplifica.

$\frac{x^{2}}{2} - x \frac{\sin (2 x)}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Paso 13.3

Simplifica.

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Paso 13.3.1

Combina $\frac{\sin (2 x)}{4}$ y $x$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Paso 13.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Paso 13.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Paso 13.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{8}) \cos (u)) + C$

Paso 13.3.5

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{8} \cos (u)) + C$

Paso 13.3.6

Combina $\frac{1}{8}$ y $\cos (u)$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) + C$

Paso 13.3.7

Para escribir $- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Paso 13.3.8

Combina $- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} + \frac{- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

Paso 13.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

Paso 13.3.10

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})}{4} + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Paso 15.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 15.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x + 4 (- 1) \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Paso 15.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x + 4 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Paso 15.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Paso 15.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 15.3.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 (- 1) \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Paso 15.3.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

Paso 15.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

Paso 15.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (2 x) x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x) - x^{2} - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Paso 16.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x) - (x^{2}) - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Paso 16.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sin (2 x) x) - (x^{2})$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2}) - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Paso 16.4

Factoriza $- 1$ de $- \frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2}) - (\frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

Paso 16.5

Factoriza $- 1$ de $- (\sin (2 x) x + x^{2}) - (\frac{\cos (2 x)}{2})$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

Paso 16.6

Reescribe $- (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})$ como $- 1 (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

Paso 16.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Paso 16.8

Reordena los factores en $- \frac{\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Paso 16.9

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} (x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x)) + C$

Paso 17

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x \sin^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} (x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x)) + C$