Cálculo Ejemplos

$y' = 2 x y$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 x y)$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (x y)$

Paso 2.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (x y)$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

Paso 2.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

Paso 2.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Paso 2.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = 2 x d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 x d x$

Paso 3.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Paso 3.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 3.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 3.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 3.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Paso 3.3.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = x^{2} + C$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{2} + C}$

Paso 4.2

Reescribe $\ln (| y |) = x^{2} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = | y |$

Paso 4.3

Resuelve $y$

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{x^{2} + C}$

Paso 4.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{2} + C}$

Paso 5

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 5.1

Reescribe $e^{x^{2} + C}$ como $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{2}} e^{C}$

Paso 5.2

Reordena $e^{x^{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{2}}$

Paso 5.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{x^{2}}$